Задачи повышенной трудности к главе II. Треугольники

328. Точки С₁ и С₂ лежат по разные стороны от прямой АВ и расположены так, что АС₁ = ВС₂ и ∠BAC₁ = ∠ABC₂. Докажите, что прямая С₁С₂ проходит через середину отрезка АВ.

329. Докажите, что если угол, прилежащая к нему сторона и сумма двух других сторон одного треугольника соответственно равны углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон другого треугольника, то такие треугольники равны.

330. Сторона и два угла одного треугольника равны какой-то стороне и каким-то двум углам другого. Могут ли эти треугольники быть неравными?

331. Две стороны и угол одного треугольника равны каким-то двум сторонам и углу другого треугольника. Могут ли эти треугольники быть неравными?

332. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите, что OC = OD, если АС = АО = ВО = BD.

Ответы к задачам

328. Указание. Сначала доказать, что АОС₁ = ВОС₂, где О — середина отрезка АВ.

329. Указание. Пусть в треугольниках АВС и А₁В₁С₁ ∠A = ∠A₁, АС = А₁С₁ и АВ + ВС = А₁В₁ + В₁С₁. Продолжить стороны АВ и А₁В₁ на отрезки BD = BC и B₁D₁ = В₁С₁ и рассмотреть треугольники ADC и A₁D₁C₁.

330. Могут. Например, равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ и треугольник ABD, где D — такая точка на стороне ВС, что АВ = AD.

331. Могут. Рассмотрим, например, равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ и отметим какую-нибудь точку D на продолжении стороны АВ. Тогда треугольники ADC и DBC обладают указанным свойством, но не являются равными.

332. Указание. Воспользоваться задачей 174.